Luogu 3295 - [SCOI2016]萌萌哒

考虑一开始每个数自成一个集合,每次给定两个区间实质是让两个区间位序相同的数归属同一集合。

同一集合中包含的不同位置的数字相同,那么答案为:$9 \times 10^{m - 1}$,其中 $m$ 为剩下的集合个数。

直接并查集时 $O(n^2)$ 的,考虑寻找一种算法使复杂度降低。

使用倍增,每次赋值打一个标记 $f_{x, l}$ 表示:从第 $x$ 位开始往后 $l$ 位,每一次并查集合并意味着第 $x$ 位往后 $l$ 位分别和父亲结点往 $l$ 位分别做一次并查集,这样询问时直接合并,最后下传一下合并标记,最后直接输出即可。

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#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>

#define MAXN 1000005
#define MAXB 19

typedef long long lint;

using namespace std;

const int mod = 1e9 + 7;
const int B = 18;
int n, m;
int fa[MAXN][MAXB], sum;

lint power(lint a, int b) {
lint res = 1;
while (b) {
if (b & 1)
res = res * a % mod;
a = a * a % mod;
b >>= 1;
}
return res;
}

int read() {
char c = getchar();
int x = 0;
while (!isdigit(c))
c = getchar();
while (isdigit(c)) {
x = (x << 3) + (x << 1) + c - '0';
c = getchar();
}
return x;
}

int find(int x, int b) {
return fa[x][b] != x ? fa[x][b] = find(fa[x][b], b) : x;
}

void merge(int x, int y, int b) {
if (find(x, b) != find(y, b))
fa[find(x, b)][b] = find(y, b);
}

void pushdown() {
for (int j = B; j >= 1; --j) {
for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; ++i) {
merge(i, find(i, j), j - 1);
merge(i + (1 << (j - 1)), find(i, j) + (1 << (j - 1)), j - 1);
}
}
}

int main() {
n = read();
m = read();
for (int i = 1; i <= n; ++i)
for (int j = 0; j <= B; ++j)
fa[i][j] = i;
for (int i = 1; i <= m; ++i) {
int l1 = read(), r1 = read(), l2 = read(), r2 = read();
for (int j = B; j >= 0; --j)
if (l1 + (1 << j) - 1 <= r1) {
merge(l1, l2, j);
l1 = l1 + (1 << j);
l2 = l2 + (1 << j);
}
}
pushdown();
for (int i = 1; i <= n; ++i)
if (find(i, 0) != i)
++sum;
printf("%lld\n", 9ll * power(10, n - sum - 1) % mod);
}