Luogu 3266 - [JLOI2015]骗我呢

显然每一行最多有一个地方“下降”,并且“下降”对于下一行的影响也是可知的,故直接枚举。

设 $f_{i, j}$ 为第 $i$ 行,第 $j$ 个地方下降,有:

也就是:

用矩阵表示:

为了更好的表达转移:

相当于在这样一个平行四边形中只能向下走或者向右走,要求最后一行的和。

由于需要求最后一行的和,可以通过增加行数来达到目的,顺带稍稍翻转一下:

设左下角为 $(0, 0)$ ,则右上角为 $(n, n + m + 1)$ ,则为了满足转移规则不能经过 $y_1 = x + 1$ 和 $y_2 = x - m - 2$ 这两条直线。

$(0, 0)$ 到 $(x, y)$ 的方案数显然是:$\pmatrix{x + y \\ x}$ ,记经过直线 $y_1$ 为 $1$ ,$y_2$ 同理,则必然有:$111112221112222\dots$ ,防止算重把相同的合并,为 $1212\dots$ 。

非法表示要么 $1$ 开头要么 $2$ 开头,将终点沿 $y_1$ 对称,得到的就是以 $1$ 或 $12$ 结尾的方案数;再沿 $2$ 对称,得到的是以 $21$ 或 $212$ 结尾的方案数。

故我们减去以 $1$ 或 $12$ 结尾的方案数,加上 $21$ 或 $212$ 结尾的方案数,减去……

当 $x < 0$ 或 $y < 0$ ,即已经没有意义,停止即可。

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#include <bits/stdc++.h>

#define MAXN 4000006

typedef long long lint;

using namespace std;

const int mod = 1e9 + 7;
int n, m;
const int N = 4000000;
lint fac[MAXN], inf[MAXN];

lint power(lint a, int b) {
lint res = 1;
while (b) {
if (b & 1)
res = res * a % mod;
a = a * a % mod;
b >>= 1;
}
return res;
}

void init() {
inf[0] = fac[0] = 1;
for (int i = 1; i <= N; ++i)
fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
inf[N] = power(fac[N], mod - 2);
for (int i = N - 1; i >= 1; --i)
inf[i] = inf[i + 1] * (i + 1) % mod;
}

lint C(int n, int m) {
if (n < 0 || m < 0 || m > n)
return 0;
return fac[n] * inf[n - m] % mod * inf[m] % mod;
}

void flip1(int& x, int& y) {
swap(x, y);
--x;
++y;
}

void flip2(int& x, int& y) {
swap(x, y);
x += m + 2;
y -= m + 2;
}

void solve() {
int x = n + m + 1, y = n;
lint ans = C(x + y, x);
while (x >= 0 && y >= 0) {
flip1(x, y);
ans = (ans - C(x + y, x)) % mod;
flip2(x, y);
ans = (ans + C(x + y, x)) % mod;
}
x = n + m + 1;
y = n;
while (x >= 0 && y >= 0) {
flip2(x, y);
ans = (ans - C(x + y, x)) % mod;
flip1(x, y);
ans = (ans + C(x + y, x)) % mod;
}
printf("%lld\n", (ans + mod) % mod);
}

int main() {
scanf("%d%d", &n, &m);
init();
solve();
}